Учеба и наука
а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π2]. - вопрос №4352332
а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π2].
июнь 5, 2021 г.
-
Всего ответов: 2
-
-
а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:
cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)
(так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))
Теперь можно использовать формулу для sin(2x):
sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
Подставляем ее в полученное выражение и получаем:
cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:
sin(2x) = -0.25
б) Используем формулу для sin(2x):
sin(2x) = -0.25
Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].
Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.
Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:
2x = -7π/6 => x = -7π/12
2x = -5π/6 => x = -5π/12
2x = 11π/6 => x = 11π/12
2x = 13π/6 => x = 13π/12
Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12
а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:
cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)
(так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))
Теперь можно использовать формулу для sin(2x):
sin(2x) = 2cos(x)sin(x)
Подставляем ее в полученное выражение и получаем:
cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)
cos^2(x) + sin^2(x) = 1
Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:
sin(2x) = -0.25
б) Используем формулу для sin(2x):
sin(2x) = -0.25
Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].
Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.
Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:
2x = -7π/6 => x = -7π/12
2x = -5π/6 => x = -5π/12
2x = 11π/6 => x = 11π/12
2x = 13π/6 => x = 13π/12
Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12
Похожие вопросы
есть два выражения: (1) sin(x) = a (2) x = (-1)^n * arcsin(a) + π*n, n ∈ Z Равносильны ли они?
октябрь 14, 2023 г.