Учеба и наука

а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π2]. - вопрос №4352332

а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π2].

июнь 5, 2021 г.

  • Всего ответов: 2

  • Михаил Александров - аватарка

    Михаил Александров

    1-й в Учебе и науке

    июнь 5, 2021 г.
  • Максим Чередник - аватарка

    Максим Чередник

    20-й в Учебе и науке

    а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:

    cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)

    (так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

    Теперь можно использовать формулу для sin(2x):

    sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

    Подставляем ее в полученное выражение и получаем:

    cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)

    cos^2(x) + sin^2(x) = 1

    Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:

    sin(2x) = -0.25

    б) Используем формулу для sin(2x):

    sin(2x) = -0.25

    Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].

    Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.

    Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:

    2x = -7π/6 => x = -7π/12

    2x = -5π/6 => x = -5π/12

    2x = 11π/6 => x = 11π/12

    2x = 13π/6 => x = 13π/12

    Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12

    а) Заметим, что для любого угла x верно равенство cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Поэтому, преобразовав уравнение, получим:



    cos^2(x) + sin^2(x) + 2cos(x)sin(x) = 1 + 2cos(x)sin(x)



    (так как sin(2x) = 2sin(x)cos(x))

     

    Теперь можно использовать формулу для sin(2x):



    sin(2x) = 2cos(x)sin(x)



    Подставляем ее в полученное выражение и получаем:



    cos^2(x) + sin^2(x) + sin(2x) = 1 + sin(2x)



    cos^2(x) + sin^2(x) = 1

     

    Получаем, что исходное уравнение равносильно уравнению:



    sin(2x) = -0.25



    б) Используем формулу для sin(2x):



    sin(2x) = -0.25



    Так как x лежит на отрезке [π, 5π/2], то 2x лежит на отрезке [2π, 5π].



    Поскольку sin(2x) отрицательный, то 2x лежит в третьем или четвертом квадрантах. Также заметим, что sin(2x) меньше -1/2, значит, угол 2x должен быть меньше -π/6 или больше 7π/6.

     

    Итак, решаем уравнение на отрезке [-π/6, 7π/6]:

    2x = -7π/6 => x = -7π/12



    2x = -5π/6 => x = -5π/12

    2x = 11π/6 => x = 11π/12



    2x = 13π/6 => x = 13π/12



    Таким образом, все корни уравнения, принадлежащие отрезку [π, 5π/2], равны -7π/12, -5π/12, 11π/12 и 13π/12

    март 24, 2023 г.

Похожие вопросы

Решите уравнение: cos2x+cos6x=1-2cos^2(x)

декабрь 26, 2023 г.

Учеба и наука

Решено

Упростить

январь 25, 2023 г.

Учеба и наука

Подскажите по тригонометрии

ноябрь 30, 2022 г.

Учеба и наука