Учеба и наука
Решено
помогите исследовать функцию на непрерывность - вопрос №142651
Помогите с ииследованием функции.
Необходимо исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва и опрделить их тип(1,2 рода)
-4, x
f(x) = x^2, -2
1/(3-x), x>=2
я определил возможные точки разрыва(правда не знаю, правильно или нет):
-2; 2; 3
А вот чего дальше делать, что-то я не пойму.
Дополнение автора от ноябрь 15, 2011 г., 07:17:30
Функция задана системой из 3 уравнений
f(x)= 1) -4 при х<-2;
2) x^2(x в квадрате) при -2<=(больше или равно) х <2
3) 1/(3-x) при х>=(больше или равно) 2
tupoi_student ноябрь 14, 2011 г.
-
Всего ответов: 2
-
Поточнее запишите условие — как задана функция f(x). Здесь у Вас записано явно не то.
-
Ну, отлично — теперь другое дело! Возможные (подозрительные) точки разрыва Вы определили правильно. Но для собственно решения задачи целесообразно пояснить суть подхода.
Точки разрыва функции могут быть 2-х типов:
(I) Либо это точки нарушения непрерывности (если таковые имеются) внутри интервалов, на которых заданы функциональные зависимости (определяющие данную функцию; здесь их 3);
(II) Либо это граничные точки — между эти интервалами, на которых задана функция.
Далее — вспомним, что означает непрерывность функции в точке. Функция f(x) является непрерывной в точке a, если выполнены следующие условия:
1. f(x) определена в точке a, т.е. задано значение f(a);
2. Её предел слева существует и совпадает с f(a): f(a-)=f(a),
где f(a-) означает lim f(x) при x --> a- (слева);
3. Её предел справа существует и совпадает с f(a): f(a+)=f(a),
где f(a+) означает lim f(x) при x --> a+ (справа).
Если хотя бы одно из этих трех условий нарушено — функция f(x) не будет нерерывной (имеет разрыв) в точке a.
Разрыв I рода: когда оба предела — слева f(a-) и справа f(a+) — существуют и конечны, причем f(a-) ≠ f(a+).
Разрыв II рода: когда хотя бы один из пределов – либо слева f(a-), либо справа f(a+) — не существует или бесконечен.
В нашем случае для поиска точек типа (I) – из трех функций (заданных на трех интервалах x) – только третья имеет нарушение непрерывности:
Функциональная зависимость 1/(3-x) при x=3 не определена, причем предел слева f(3-) равен +∞, предел справа f(3+) равен -∞. Т.е. точка x=3 это разрыв IIрода.
Далее проверяем точки типа (II) – граничные точки (между первым и вторым и между вторым и третьим интервалами):
x=-2 предел слева (f(x)=-4): f(-2-) = -4;
предел справа (f(x)=x2): f(-2+) =(-2)2 = 4.
Здесь оба предела существуют, конечны, но не совпадают – значит, x=-2 - разрыв I-го рода.
x=2 предел слева (f(x)= x2): f(2-) = 22 = 4;
предел справа (f(x)=1/(3-x)): f(2+) = 1/(3-2) = 1.
Здесь (как и при x=-2) оба предела существуют, конечны, но не совпадают – значит, x=2 - также разрыв I-го рода.
Лучший ответ по мнению автора