Учеба и наука
Решено
олимпиада - вопрос №143371
Решите с помощью целых чисел уравнение(х+2010)(х+2011)(х+2012)=24
ноябрь 15, 2011 г.
-
Всего ответов: 2
-
х = -2008
Лучший ответ по мнению автора -
Елена, ответ, конечно, Вам дали верный, но в подобных задачах главное не ответ (нередко, как здесь, он очевиден), а собственно решение – выяснение вопроса и доказательство единственности предложенного ответа.
Кроме того, у Вас ведь написано «Решите с помощью целых чисел...», а не «Решите в целых числах...». Это две существенно различные задачи («с помощью» – означает ровно то что написано, т.е. это лишь подсказка для поиска решения). Поэтому надо еще проверить, нет ли еще решений не в целых, а в вещественных числах этого уравнения.
Изначально, глядя на условие, всё предельно понятно — произведение трех чисел, отличающихся последовательно друг от друга на единицу, равно 24. Сразу и напрашивается ответ: 2·3·4 (и, видимо, в условии слова «с помощью» и написали для тех, кто сразу не увидит это целое решение).
А вот дальше самое главное — необходимо провести исследование, могут ли быть другие решения?
Для удобства перепишем исходное уравнение
(х+2010)(х+2011)(х+2012) = 24 (1)
в виде (замена переменной x+2011=y):
(y-1)y(y+1) = 24 (2)
Один его очевидный корень y1=3. Докажем теперь, что других решений нет (не привлекая, поскольку это школьная задача, аппарат производных – тогда бы это решалось совсем быстро).
Может ли быть решение y>3? Нет – потому что, если повышать значение y выше корня y1=3, то в левой части уравнения (2) каждый из сомножителей начнет расти, увеличивается и произведение (становясь заведомо выше, чем 24). Поэтому значений y>3, удовлетворяющих исходному уравнению (2), нет.
Если теперь наоборот – понижать переменную y ниже корня y1=3 – сначала аналогично начнет монотонно уменьшаться каждый из сомножителей; монотонно начнет уменьшаться и произведение. Эта монотонность нарушается лишь внутри интервала (-1, 1) для y, но там произведение (y-1)y(y+1), очевидно, меньше значения 24.
Ну а при еще более низких значениях y произведение (y-1)y(y+1) становится вообще отрицательным и продолжает (с дальнейшим уменьшением y) уменьшаться.
Тем самым, доказано отсутствие других вещественных (не обязательно целых!) корней исходного уравнения.
Отметим, что доказать это можно было и по-другому (не считая способа с привлечением производных как средства оценивания возрастания-убывания функции) так.
Поскольку известен очевидный корень y1=3 исходного уравнения:
(y-1)y(y+1) – 24 = 0 , (3)
то это означает, что левая часть (3), т.е. выражение
(y-1)y(y+1) – 24 = y[(y-1)(y+1)] = y[y2-1] – 24 = y3 – y – 24
делится на y-3. Произведя это деление (обычным, «школьным» способом – как деление многочлена на многочлен), получаем разложение исходного уравнения (3):
(y-1)y(y+1) – 24 = y3 – y – 24 = (y–3)(y2+3y+8) = 0 (4)
А это уравнение (4) никаких других вещественных корней, кроме y1=3 (полученного ранее), очевидно, не имеет (дискриминант квадратичного сомножителя (4) y2+3y+8 отрицателен).
Вот теперь действительно (если, конечно, я нигде не ошибся) доказано (несколькими способами), что никаких других корней кроме значения y1=3 уравнение (4) (как и эквивалентные ему уравнения (1)-(3)) не имеет. При этом не имеет не только в области целых чисел, но в области любых вещественных чисел.
Ну а значению y1=3 соответствует, понятно, представленный выше верный ответ x=y-2011=-2008 (автор которого, Олег Волков, тоже, надеюсь, на меня не в обиде :-)).
Похожие вопросы