Учеба и наука
Задача заплачу 100 руб, если поможете ) - вопрос №229705
Как изменится обьем провода длиной 1 м и диаметром 1 мм, если радиус при охлаждении уменьшится на 0,01 мм (использовать дифференциал функций)
март 18, 2012 г.
-
Всего ответов: 4
-
Объем равен V=(п*L*(D^2)/4) найдем дифференциал функций
dV=(п*L*(D^2)/4)«dD (дельта)V=(п*L*2D/4)(дельта)D (дельта)D=2(дельта)R
(дельта)V=(п*L*2D/4)2(дельта)R=п*L*D(дельта)R=3.14*1*0.001*10^(-5)=3.14*10^(-8)м^3
Обращайся
-
Предложенное выше (Владимировым Александром) решение неверно, поскольку не учитывается физический факт, что при охлаждении (как и при нагревании) тела его размеры меняются по всем направлениям трехмерного пространства (т.е. при охлаждении уменьшается не только радиус сечения, но и длина провода).
При этом относительное изменение (уменьшение при охлаждении, увеличение – при нагревании) α линейных размеров (коэффициент линейного термического расширения) одинаково во всех направлениях (тело (материал провода) считаем изотропным).
Тогда для объема V провода:
V = πr2l (1)
(где r, l – радиус сечения и длина провода соответственно), учитывая данный факт при нахождении дифференциала объема dV (т.е. дифференцировать необходимо не только по радиусу (диаметру), но и по длине провода), имеем:
dV = π(2rdr + r2dl) = πr2l(2dr/r + dl/l) = V(2dr/r + dl/l) (2)
(символ "d" везде – знак дифференциала).
Причем для термического коэффициента α, в силу вышесказанного и с учетом численных данных условия условия (диаметра и радиуса провода: r = 1/2 мм = 1/2 ·10-3 м), имеем:
α = dl/l = dr/r = 0.01/(1/2) = 0.02 (3)
И тогда эффект термического расширения (2) более компактно представляется в форме:
dV/V= (2dr/r + dl/l) = 2α + α = 3α, (4)
отражающей тот факт, что коэффициент β объемного термического расширения (dV/V) равен утроенному коэффициенту α линейного термического расширения:
β = dV/V = 3α (5)
Поэтому, в соответствии с (2)-(5), несложно получить как относительное изменение dV/V объема:
dV/V= 3α = 3·0.02 = 0.06 (6)
(объем уменьшился на 0.06, т.е. на 6%), так и абсолютное (dV):
dV= V·3α = πr2l·3α = π(1/2 ·10-3)2·1·0.06 =
= 3/2 ·π·10-8 ≈ 3/2 ·3.14·10-8 (м3) (7)
-
Решение верно т.к. Диаметр многоменьше линейных размеров, о чем говорит результат полученный колегой после цепи красивых но бесполезных действий
Дифференциал используется для приближенных вычислений.
-
К сожалению, ни решение, ни, тем более, результат (3.14·10-8 м3), полученные в первом решении, верными всё же не являются.
А приведенная выше мотивировка («Решение верно т.к. Диаметр много меньше линейных размеров…») его как бы правильности и близости результата к точному решению (3/2 ·3.14·10-8 м3) некорректна и вообще существа вопроса никак не касается: относительное изменение объема (за счет нагревания-охлаждения) никак не зависит от соотношения диаметра и длины провода, поскольку попросту равно сумме относительных изменений каждого из трех линейных размеров провода.
Поэтому хоть диаметр будет много меньше длины провода, пусть хоть даже много больше, – относительное изменение объема будет абсолютно одинаковым и равным утроенному относительному изменению любого из трех (и равных между собой – в силу подразумеваемой изотропности материала!) определяющих линейных размеров провода (хоть его длины, хоть его диаметра в сечении, хоть второго его диаметра (перпендикулярного первому) в том же сечении).
И в приведенном самом первом решении эксперта из изменений трех этих линейных размеров учитываются фактически только два (диаметры в сечении), а третье (длина провода) не учитывается никак! Поэтому относительное изменение объема должно быть занижено (в результате такого решения) в полтора раза – в силу отмеченной линейности между объемными и линейными изменениями (относительными) размеров провода.
Именно это мы и видим – первый ответ (3.14·10-8 м3) оказывается ровно в полтора раза ниже второго, правильного (3/2 ·3.14·10-8 м3) и ни о какой близости между ними говорить, разумеется, нельзя. Ну а принципиальная разница в существе решений показана выше.
Отмети, что все эти результаты мгновенно вытекают из приведенных выше (во втором решении) формул типа (2)-(5), которые, к сожалению, действительно оказались бесполезными – для автора первого решения.
Впрочем, предназначены они, как и все вышеприведенные объяснения, не для экспертов, а для авторов вопросов – для лучшего понимания ими существа явления. В данном случае это весьма простое явление термического расширения тел из курса школьной физики, описываемое несложными линейными соотношениями, приведенными выше (где всё элементарно и, увы, просто нет почвы для каких-либо «красивых действий»).
И еще один довод автора первого решения – " Дифференциал используется для приближенных вычислений" – также трудно признать корректным. Действительно, заданный фактически по условию коэффициент α=0.02 термического расширения определяет ошибку в определении объема (если использовать аппарат дифференциалов) относительно точного расчета – она составляет (как нетрудно убедиться путем элементарных расчетов) чуть ниже значения α, т.е. менее 2%.
