Учеба и наука

• Всего ответов: 1


1
10-й в
25 отзывов
Пусть DH , AP и BF – высоты пирамиды ABCD , G – ортогональная проекция точки E на плоскость грани ADC . Поскольку AF – ортогональная проекция на плоскость ADC наклонной AB , точки A , G и F лежат на одной прямой, причём EG – средняя линия прямоугольного треугольника ABF , поэтому BF=2EG = 2h . Аналогично докажем, что высота AP пирамиды вдвое больше искомого расстояния от точки E до плоскости BCD . Обозначим AD=BC=a . Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADC находим, что AC = a иИз условия задачи следует, что высота DH – катет прямоугольного треугольника DCH , лежащий против угла в 30^o , поэтому

Тогда

По теореме о трёх перпендикулярах CH перпендикулярно AB , а т.к. треугольник ACB равнобедренный (CB=AC=a), то его высота, лежащая на прямой CH , проходит через середину E основания AB . В треугольнике ADB медиана DE является также высотой (DE перпендикурярно AB по теореме о трёх перпендикулярах), поэтому DB=DA = a . Следовательно, треугольник DBC , равный треугольнику DAC по трём сторонам, – также прямоугольный и равнобедренный. По теореме косинусов

Поэтому

Записав объём пирамиды ABCD двумя способами (S_ΔBCD· AP = S_ΔACD· BF ), найдём, что высота AP равна высоте BF . Следовательно, расстояние от точки E до плоскости BCD равно расстоянию от точки E до плоскости ACD , т.е. h . С другой стороны S_{Δ ACD}· BF = S_{Δ ABC}· DH , или

откуда a=3h . Пусть α – искомый угол между ребром AB и гранью ACD . Из прямоугольного треугольника AGE находим, что

Поскольку DE и CE – высоты равных равнобедренных треугольников ADB и ABC , опущенные на общее основание AB , линейный угол двугранного угла между гранями ADB и ABC есть угол DEC . По теореме косинусов

Следовательно, угол DEC = 120^o .
 
PS Не забывайте поставить оценку за ответ
май 3, 2012 г.
Ответ понравился автору
Лучший ответ по мнению автора

Похожие вопросы