Учеба и наука
Решено
производная - вопрос №52350
Здравствуйте!
На оси ОХ найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от точек А(2;4) и В(8;2) имеет наименьшее значение.
Желательно с решением.
январь 13, 2011 г.
-
Всего ответов: 1
-
Геометрическое место точек, равноудалённых от данной есть окружность с центром в этой точке - O (5,3) середине отрезка АВ. Расстояние между точками А и В = корень квадратный из (36+4)=2 корня из десяти. Радиус окружности, построенной на отрезке АВ как на диаметре, очевидно, равен половине - корню квадратному из 10.
Пусть X (x,0) - искомая точка. Сумма квадратов расстояний AX^2+BX^2=(x-2)^2+(8-x)^2+2^2+4^2. Эта сумма минимальна при условии минимума функции y=(x^2-4x+4)+64-16x+x^2=2x^2-20x+68. После деления на 2 имеем x^2-10x+34. Абсцисса точки полюса параболы x0=10/2=5. Найдём сумму квадратов расстояний - 3^2+3^2+20=38.
Понятно, что окружность с центром в точке Q с координатами (5, z) будет касаться оси Ох в точке (5,0). Её радиус, очевидно, будет равен z=корень квадратный из 19. Но тот факт, что z необязательно находить, хотя по трём точкам (5,0), (2,4) и (8,2) легко составить уравнения (5-2)^2+(z-4)^2=(8-5)^2+(2-z)^2 и найти 4-z=z-2, то есть z=3.
Проверкой можно убедиться, что 3 не равно корню квадратному из 19. Но это противоречие кажущееся. Ведь треугольник, построенный на трёх точках окружности является прямоугольным, когда две из этих точек принадлежат одному диаметру.
Лучший ответ по мнению автора
Похожие вопросы
В гараже в одном ряду было 25 машин,а в другом -32.Уехало 20 машин. Сколько машин осталось в гараже? Реши задачу 3 мя способами.
сентябрь 3, 2014 г.