Учеба и наука

Найдите а) экстремум функции нескольких переменных; б) наименьшее и наибольшее значения функции в области D - вопрос №5485425

изображение из вопроса

май 19, 2024 г.

  • Всего ответов: 1

  • Dmitriy_Teh - аватарка

    Dmitriy_Teh

    8-й в

    Чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, нам нужно найти её частные производные по каждой переменной, приравнять их к нулю и решить систему уравнений.

    После этого нужно проверить найденные точки на экстремум с помощью вторых производных.

    Дана функция: 𝑓(𝑥,𝑦)=7𝑥2+5𝑥𝑦+3𝑦2−2𝑥+7𝑦+12f(x,y)=7x2+5xy+3y22x+7y+12

    а) Найдем частные производные по x и y:

    ∂𝑓∂𝑥=14𝑥+5𝑦−2xf=14x+5y2 ∂𝑓∂𝑦=5𝑥+6𝑦+7yf=5x+6y+7

    Теперь приравняем их к нулю и решим систему уравнений: 14𝑥+5𝑦−2=014x+5y2=0 5𝑥+6𝑦+7=05x+6y+7=0

    Решая эту систему, мы найдем точку экстремума.

    б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции в области D, мы должны рассмотреть границы этой области и точки экстремума. Область D задана условиями: 𝐷={(𝑥,𝑦):𝑥≥0, 0≤𝑦≤1, 3𝑥2−𝑦≤0}D={(x,y):x0, 0y1, 3x2y0}

    Мы должны рассмотреть границы, которые соответствуют этим условиям, а также точку, найденную в пункте (а).

    Так как эти вычисления довольно объемные и могут занять много времени, позвольте мне перейти к решению и вернуться с результатами.

    Давайте начнем с нахождения точек экстремума.

    Сначала найдем точку, где частные производные равны нулю: 14𝑥+5𝑦−2=014x+5y2=0 5𝑥+6𝑦+7=05x+6y+7=0

    Решая эту систему уравнений, мы получаем 𝑥=−1,𝑦=2x=1,y=2.

    Теперь найдем значения функции в этой точке: 𝑓(−1,2)=7(−1)2+5(−1)(2)+3(2)2−2(−1)+7(2)+12f(1,2)=7(1)2+5(1)(2)+3(2)22(1)+7(2)+12 =7+(−10)+12−(−2)+14+12=33=7+(10)+12(2)+14+12=33

    Теперь найдем значения функции на границах области D.

    1. 𝑦=0y=0: 𝑓(𝑥,0)=7𝑥2−2𝑥+12f(x,0)=7x22x+12 =7𝑥2−2𝑥+12=7x22x+12 𝑓(𝑥,0)→+∞ при 𝑥→+∞f(x,0)+ при x+

    2. 𝑥=0x=0: 𝑓(0,𝑦)=3𝑦2+7𝑦+12f(0,y)=3y2+7y+12 =3𝑦2+7𝑦+12=3y2+7y+12 𝑓(0,𝑦)→+∞ при 𝑦→+∞f(0,y)+ при y+

    3. 3𝑥2−𝑦=03x2y=0: 𝑦=3𝑥2y=3x2

    Таким образом, мы нашли, что на границах области D функция стремится к бесконечности.

    Таким образом, наименьшего и наибольшего значений функции в области D не существует. В точке (-1, 2) достигается экстремум, равный 33.

    май 20, 2024 г.

Похожие вопросы