Учеба и наука
Решено
математика - вопрос №58096
на стоянке 100 колес, машины 4-х и мотоциклы 3-х, сколько их. Волнует ход решения
февраль 9, 2011 г.
-
Всего ответов: 3
-
Если x число машин, а y - число мотоциклов, то 4x+3y=100 и нужно найти натуральные (включая и 0) решения. Сразу видно, что если мотоциклов нет на стоянке (y=0), то машин есть 25. Число машин не может равняться нулю, так как 3y=100 не имеет целочисленных решений. Разделив обе части нашего уравнения на 4 получим, что x+3y/4=25, откуда 3y/4=25-x - натуральное. Легко видеть, что при y=4 получим x=22 - одно решение. Запишем систему 4x+3y=100 и 4*22+3*4=100. Вычтем из первого уравнения второе: 4(x-22)+3(y-4)=0. Пусть x-22=m, а y-4=n. Тогда 4*m=-3*n. Числа m и n - целые. Поэтому m=3k, а n=-4k. Теперь получается: 4(x-22)=-3n=12k, откуда x=22+3k. Точно так же y=4-4k. Легко видеть из первого уравнения, что k<=1, а из второго, что 22+3k<=25, откуда, k>=-7 и оно целое. Итак беря k : -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 получим все решения (x, y). Для уверенности можно, конечно проверить, все ли k дают решения, но это уже - конечный простой перебор.
-
Пусть x - чило машин, y - число мотоциклов.
Рассмотрим крайние случаи -1) на стоянке только 4-х колёсные машины. Ответ - 100/4 =25 машин, 0 мотоциклов.
2) только 3-х колёсные мотоциклы - 100/3 = 33 мотоцикла и одно лишнее колесо.
Теперь заметим, что убрав одну машину (4 колеса) или 2е (8 колёс) никоим образом нельзя восстановить добавлением мотоциклов прежнее число колёс. А вот три машины в точности эквивалентны четырём мотоциклам по числу колёс.
Поэтому все ответы составляют множество {(25,0), (22, 4), (19,8), (16,12), (13,16), (10,20), (7,24), (4,28), (1,32)}.
В общем виде решение выглядит так { ( 1+3k , 32-4k ) , k=0,..8 }.
Полезно изобразить множество на клетчатой бумаге в координатах (x, y).
Если прямая y=33*(1-*x/25) проходит через пересечение линий, то есть целочисленное решение (на рисунке обведено кружком) .
Ссылка на рисунок http://forum-psn.ru/myshare/?dl=3388cd75527135d48c27440eb45c0ac7
Отметьте, пожалуйста, мой ответ как лучший. Спасибо.
Лучший ответ по мнению автора -
Математик ответ получил бы более коротким путем, основываясь на свойствах целых чисел. В частности, рассматривая уравнение 4x+3y=100, сразу видно, что второе неизвестное должно делиться на 4, т.е. y=3k. Следовательно, уравнение должно иметь вид: x+3k=25. Это обычная операция в решении линейных диофантовых уравнений, связанная с исключением общих множителей из коэффициентов и свободного члена. По условию 0<=x=25-3k<=0 => 0<=k<=8. В итоге общее решение
x=25-3k
y=3k, 0<=k<=8
Похожие вопросы
крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь.Если он продаст 15 ц ржи,то ему не хватит для покупки лошоди 80 р,а если он продаст 20 ц...
сентябрь 5, 2014 г.
Решено
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно. а) Докажите, что...
апрель 1, 2014 г.