Учеба и наука
Решено
Задание ЕГЭ)))C4 - вопрос №80839
Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.
Дополнение автора от май 15, 2011 г., 12:29:09
В ответе должно получиться 125/32 или 125/8
Вопрос задан анонимно май 14, 2011 г.
-
Всего ответов: 3
-
(2+x)^2+(8+x)^2=15^2
отсюда радиус R = x = (sqrt(5*79)-9)/2
-
Если изобразить эти окружности и касательную, проходящую между ними и касающуюся обеих этих окружностей, то становится понятным, что:
— искомая окружность касается малой окружности в точке, общей с касательной, а ее центр лежит на перпендикуляре к касательной в этой точке,
— искомая окружность касается большой окружности в точке, лежащей на прямой, соединяющей их центры.
Из прямоугольного треугольника, который соединяет центры этих трех окружностей можно записать, согласно теореме Пифагора:
(r+r1)^2 + (r+r2)^2 = d^2,
где r — радиус искомой окружности, r1 — радиус малой окружности, r2 — радиус большой окружности, d — расстояние между их центрами.
Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение:
r^2 +2r(r1+r2) + (r1^2+r^2-d^2)=0
Подставив в него исходные данные, получим:
2*r^2 + 20r — 157 =0
Его решение:
r=-5 ±(корень(100+2*157))/2 = -5 ±(корень(414)/2
r1=5,173... r2= -15,173...
Положительное решение: hflbec jrhe;yjcnb r=5,173..
Проверка: (5,173+2)^2+(5,173+8)^2=51,45+173,53=224,98, что в пределах точности вычислений совпадает с 15^2=225
-
Оба предыдущих решения основаны на предположении, что угол, образованный лучами, исходящими из центра искомой окружности, и преследующими центры исходных окружностей, является прямым. Однако, здесь это условие не выполняется.
Если клиент добрался до уровня С, то здесь надо лишь показать установку. Задача сводится к трем трапециям с прямым углом при основании. Первая трапеция, образуется радиусами, опущенными из центров исходных окружностей, прямой соединяющей центры и отрезком касательной. Она позволяет вычислить длину l касательной:
l^2 = 15^2 -(8-2)^2 = 225 — 36 =189.
Отрезок касательной разбивается на два отрезка
l = l1 + l2,
каждый из которых также является боковой стороной трапеции, на радиусах искомой окружности и одной из заданных, что дает возможность таким же образом связать боковую грань длиной l1 или l2 с радиусом искомой окружности. Тогда складывая длины двух отрезков, получается уравнение и решение оказывается действительно рациональным числом.
Лучший ответ по мнению автора
Похожие вопросы
запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковыхцифр,в записи которых используются цифры а)567 б)012 комбинаторным способом
сентябрь 4, 2014 г.
Решено
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=24, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 615. Найдите sin∠ABC.
апрель 1, 2014 г.