Учеба и наука
Решено
Дана система линейных дифференциальных уравнений... - вопрос №849793
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами dx/dt=a11x+a12y, dy/dt=a21x+a22y. Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной форме. dx/dt=3x-2y, dy/dt=2x+8y
ноябрь 27, 2013 г.
-
Всего ответов: 1
-
1. dx/dt=3x-2y
dy/dt=2x+8y
Решим систему методом исключения. Для этого из первого уравнения выразим 2y:
2y=3x-dx/dt=3x-x'
Тогда,
dy/dt=(3/2)dx/dt-(1/2)d.^2x/dt.^2=(3/2)x'-(1/2)x''
Подставляя dy/dt и 2y во второе уравнение, получаем:
(3/2)dx/dt-(1/2)d.^2x/dt=2x+12x-4dx/dt
(1/2)x''-(11/2)x'+14x=0
x''-11x'+28x=0
r''-11r+28=0
r1=11+3/2=7
r2=11-3/2=4
x=C1e.^7t+C2e.^4t
y=(3/2)x-(1/2)x'=(3C1/2)e.^7t+(3C2/2)e.^4t-(7C1/2)e.^7t-(4C2/2)e.^4t
=2C1e.^7t-(C2/2)e.^4t
Таким образом, общее решение системы уравнения имеет вид:
y=2C1e.^7t-(C2/2)e.^4t, x=C1e.^7t+C2e.^4t
2. Выпишем матрицу:
А=(3,-2;2, 8)
Найдем корни ее харектиристического уравнения:
A-lI=(3-l, 2; 2, 8-l)
(A-lI)=(3-l)(8-l)+4=24-3l-8l+l.^2+4
l.^2-11l+28=0
l1=11+3/2=7, l2=11-3/2=4
Найдем координаты собственного вектора р1, соответствующего значению l1:
(A-l1I)(a1,b1)=(-4,2;2,1)(a1,b1)=0
-4a1+2b1=0, 2a1+b1=0
b1=-2a1,a1=1,b1=-2
p1=i-2j
Аналогичным образом находим координаты вектора p2:
(A-l2I)(a2,b2)=(-1,2;2,4)(a2,b2)
-a2-2b2=0, 2a2+4b2=0
a2=-2b2, b2=-1/2, a2=1
p2=i-j/2
Таким образом, общее решение имеет вид:
r(t)=C1e.^7t(i+2j)+C2e.^4t(i-(1/2)j)
или
x=C1e.^7t+C2e.^4t, y=2C1e.^t-(C2/2)e.^4t
Лучший ответ по мнению автора
Похожие вопросы
Вася выполнил 15 заданий по матиматике: 3 задачи он выполнил в два действия, 5 задач- в одно действие и несколько примеров. Сколько примеров решил Вася?
сентябрь 8, 2014 г.
Решено
с решением...Для построения графика функции у= -3х – 1 достаточно А) хотя бы две точки б) только одну точку в) только три точки г) хотя бы одну точку
Вопрос задан анонимно май 19, 2014 г.