Учеба и наука
Олимпиада по математике 7 класс! - вопрос №130127
Покажите, что, если выражение 3а+3б+5с при некоторых целых значениях а,5, с, делится на 11, то и выражение 9а+б+4с при этих значениях а, б, с делится на 11 ?????
октябрь 16, 2011 г.
-
Всего ответов: 1
-
Предполагаю, что необходимо выполнить некоторые уточнения, с учетом которых задача формулируется так:
решить систему уравнений
3a+3b+5c=11x,
9a+b+4c=11y
в целых числах относительно a,b,c.
Решение. Если по частям первое умножить на 3 и из него вычесть второе, то получится следствие
8b+11c=11(3x-y),
откуда следует, что число b должно делиться на 11
b=11p.
Тогда c=3x-y-8p.
Подстановка в первое уравнение полученных выражений b и c приводит к следующему уравнению
7p-3a=4x-5y
относительно целых чисел p и a.
Поскольку числа 7 и 3 взаимно простые, то следуя теореме Безу уравнение
7u-3v=1
относительно u и v единственное решение. И оно легко находится
u=1, v=2.
Тогда становится очевидным, что
p= 4x-5y,
a=2(4x-5y).
В результате выводится структура искомых чисел
a=2(4x-5y),
b=11(4x-5y),
c=3x-y-8p=39y-29x,
где x,y — целые числа.
Похожие вопросы
Решено
Добрый день! Еще задачка! Существует ли трехзначное число, равное произведению своих цифр?
август 24, 2014 г.