Учеба и наука

• Всего ответов: 2


Владимир Чепурных
30-й в Учебе и науке
4.9 26 отзывов
Здравствуйте, Ильяс!
Раскладывая свободный член 120=2 3 4 5, сразу можно заметить, что уравненение имеет корень x=1. Тогда по схеме обычного деления многочленовполучается равенство
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120=(x-1)(x^3+11x^2+46x+96).
Уравнение третьей степени 
x^3+11x^2+46x+96=0
может иметь целые решения лишь среди множителей свободного члена. И среди множителей находится решение
x=-6.
Снова используя схему деления
x^3+11x^2+46x+96=(x+6)(x^2+5x+16),
выделяется квадратный трехчлен, который имеет уже комплексные корни. При необходимости они легко вычисляются.
Успехов!
ноябрь 14, 2011 г.

Александр
24-й в Учебе и науке
5.0 17 отзывов
         Нетрудно заметить, что произведение 1-ой и 4-ой скобок левой части уравнения отличается от произведения 2-ой и 3-ой скобок на константу. Поэтому, приняв любое из этих произведений за новую переменную, превращаем исходное уравнение в квадратное – относительно этой новой переменной. Решив его, а затем и уравнение замены переменной (тоже квадратное), находим искомое решение исходного уравнения. Реализуем далее эту логику решения.
         Итак, в исходном уравнении:
                             (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120                                    (1)
произведем указанные выше преобразования:
             (1)   [(x+1)(x+4)]·[(x+2)(x+3)]=120 
                                  [x²+5x+4]·[x²+5x+6]=120                            (2)
           Сделав теперь в уравнении (2) замену переменной:
                                              y = x²+5x+5 ,                                     (3)
получаем:
         (y-1)(y+1)=120      y²-1=120       y₁= 11,     y₂= -11
         И тогда подстановка этих решений в (3) приводит к двум квадратным уравнениям:
                       x²+5x+5 = 11  <=>      x²+5x–6 = 0                       (4)
                     x²+5x+5 = -11   <=>     x²+5x+16 = 0 ,                   (5)
в совокупности эквивалентным исходному уравнению (1).
         Решение (4) дает 2 корня:
                                      x₁ = -6,      x₂ = 1,
а уравнение (5) вещественных корней не имеет (дискриминант отрицателен).
         Таким образом,  x₁ = -6  и  x₂ = 1  – искомые решения заданного уравнения (1).
ноябрь 17, 2011 г.

Похожие вопросы