Учеба и наука

• Всего ответов: 1


Татьяна Александровна
7-й в Учебе и науке
4.9 86 отзывов
Какой цифрой заканчивается сумма 2019^2019 + 2018^2018 ?
1)  Рассм. число 2019^2019:
Это число 2019 умножается само на себя 2019 раз, т.е.
 2019 ∙ 2019 ∙ 2019 ∙ ……∙ 2019
.____________________________.
                      2019 шт
  Последняя цифра 9 будет умножаться само на себя 2019 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2019^2019. Выясним, что это будет за цифра:
Степени 9^k оканчиваются на цифры: 1 и 9. Построим таблицу:
                                       Окончания 9^k|     1     |   9
Степень k, дающая данное окончание |      0   |   1
Степень k, дающая данное окончание |      2   |   3
Степень k, дающая данное окончание |      4   |   5
Степень k, дающая данное окончание |      6   |   7
                                                                   четн   | нечетн
Вывод: число 9^k оканчивается на ц. 1, если степень k– четная, и на ц. 9 – если нечетная. Т.к. степень 2019 – нечетн. число, число 2019^2019 оканчивается на цифру 9
2)  Рассм. число 2018^2018:
Это число 2018 умножается само на себя 2018 раз, т.е.
 2018 ∙ 2018 ∙ 2018 ∙ ……∙ 2018
.____________________________.
                       2018 шт
  Последняя цифра 8 будет умножаться само на себя 2018 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2018^2018. Выясним, что это будет за цифра:
Степени 8^k оканчиваются на цифры: 8, 4, 2 и 6. Построим таблицу:
                                       Окончания 9^k|      8    |   4   |     2    |   6
Степень k, дающая данное окончание |      1   |   2    |      3   |   4
Степень k, дающая данное окончание |      5   |   6    |      7   |   8
Степень k, дающая данное окончание |      9   |  10   |    11   |   12
Степень k, дающая данное окончание |      .    |   .     |      .    |       .
                                                                    4n-3   | 4n-2 | 4n-1   | 4n– общ. формула степени
Вывод: число 8^k оканчивается на ц. 8, если степень вида k=4n-3;  на ц. 4, если k=4n-2;  на ц. 2, если k=4n-1; на ц. 6, если k=4n. Определим, какого вида число 2018:
2018 = 2020 – 2 = 4∙505 – 2 = |n=505| = 4n– 2. Т.о. число 2018^2018 оканчивается на ц. 4
3)  Тогда сумма 2019^2019 + 2018^2018 оканчивается на ц. 3  (9 + 4 =13 => ц. 3)
апрель 11, 2018 г.
Ответ понравился автору
Лучший ответ по мнению автора

Похожие вопросы