Учеба и наука
ПОЖАЛУЙСТА!!!ПОМОГИТЕ!!! - вопрос №42437
Дано уравнение: производная y+2xy=2xe^-x^2
Найти общее решение: а)методом вариации произвольного постоянного
б)методом подстановки
Проверить, будет ли решение удовлет-ть данному уравнению.
ноябрь 8, 2010 г.
-
Всего ответов: 1
-
Здравствуйте, link!
y'+2*x*y=2*x*exp(-x^2/2).
Задание б), наверное, звучит так: б) методом подстановки проверить, будет ли решение удовлетворять данному уравнению.
Так и понимаем!
Решение.
а) Найдем общее решение однородного уравнения y'+2*x*y=0. Это уравнение с разделяющими переменными. Разделяем переменные: dy/dx=-2*x*y -> dy/y=-2*x*dx.
Теперь интегрируем обе части уравнения (неопределенный интеграл): ln y=-x^2+ln C, где C - произвольная постоянная. Можно записать решение y=C*exp(-x^2) (формула 1).
Считаем теперь, что величина С является функцией от переменной x. Находим
y'=C'*exp(-x^2)-C*2*x*exp(-x^2).
Подставляем это в исходное уравнение.
C'*exp(-x^2)-C*2*x*exp(-x^2)+2*x*C*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2).
После сокращения второго и третьего членов в левой части, получим уравнение для определения функции C(x): C'*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2) -> C'=2*x*exp(x^2/2), откуда получим C(x), взятием неопределенного интеграла от обеих частей уравнения. В левой части получим C(x), а в правой части под интегралом будет: 2*exp(x^2/2)*d(x^2/2), что дает табличный вариант: C(x)=2*exp(x^2/2)+A, где A - произвольная постоянная.
Подставляя теперь полученную функцию C(x) в формулу 1, вместо C, получим общее решение уравнения.
y=C(x)*exp(-x^2)=2*exp(-x^2/2)+A*exp(-x^2).
б) Находим теперь производную этой функции y'=-2*x*exp(-x^2/2)-2*A*x*exp(-x^2).
Подставляя в левую часть исходного уравнения вместо функции y(x) и y'(x) соответствующие выражения, получим:
-2*x*exp(-x^2/2)-2*A*x*exp(-x^2)+4*x*exp(-x^2/2)+2*A*x*exp(-x^2),
После сокращения второго и четвертого членов и приведения подобных членов, получим как раз правую часть уравнения: 2*x*exp(-x^2/2).
Итак, левая часть равна правой. Значит полученная функция является общим решением уравнения.
P.S. Данное уравнение можно решать и другим образом: ищем решение исходного уравнения в виде: y(x)=u(x)*v(x), т.е. нужно определить функции u(x) и v(x). Найдем производную функции y(x) и подставим все в уравнение: y'=u'*v+u*v' ->
u'*v+u*v'+2*x*u*v=2*x*exp(-x^2/2) -> u(v'+2*x*v)+u'*v=2*x*exp(-x^2/2).
Выбираем теперь функцию v(x) так, чтобы v'+2*x*v=0. Отсюда находим (разделяя переменные) v(x)=exp(-x^2). Теперь, зная функцию получим из уравнения
u'*exp(-x^2)=2*x*exp(-x^2/2) -> u'=2*x*exp(x^2/2), откуда u=2*exp(x^2/2)+C.
Итак, получим: y(x)=u(x)*v(x)=2*exp(-x^2/2)+C*exp(-x^2).
Фактически этот метод эквивалентен методу вариации произвольной постоянной.
С уважением, выходите в чат.
Удачи!
Похожие вопросы
Скорость полета ласточки 18 м\c а беркута 36 м\с. 1.На сколько метров в секунду скорость беркута больше, чем скорость ласточки? 2.Во сколько раз...
сентябрь 8, 2014 г.
Решено
с решением...Приведите подобные слагаемые в выражении 4 – 6в – 6 - в . 1) – 9 в 2) – 2 – 7в 3) – 7в +2 4) – 5в – 2
Вопрос задан анонимно май 19, 2014 г.
прямые АВ и АС пересекаются с некоторой прямой в точках М и Н соответственно. Докажите,что точки М, Н ,С , В лежат в одной плоскости
октябрь 15, 2013 г.
Решено
АС и ВD – диаметры окружности с центром О, угол АСВ = 35 градусов. Найти угол АОD
май 3, 2013 г.