Учеба и наука

В равнобедренный треугльник вписан полукруг. Диаметр полукруга равен основанию треугольника. Бёдра треугольника являются внешними касательными к - вопрос №5110469

полукругу. Найти высоту треугольника, зная лишь основание = 1?

март 26, 2023 г.

Сообщить о нарушении

Всего ответов: 1

Максим Чередник

20-й в Учебе и науке

5.0 1 отзыв

Пусть треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC = 1 и боковыми сторонами AB = AC. Полукруг, вписанный в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Пусть O — центр полукруга, тогда OD и OE являются радиусами, перпендикулярными к сторонам AB и AC.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = CD = 1/2. Кроме того, OD и OE являются радиусами полукруга, следовательно, OD = OE = r, где r — радиус полукруга.
Рассмотрим треугольник ODE. Он является прямоугольным, так как OD и OE являются радиусами полукруга, а диаметр полукруга перпендикулярен к сторонам AB и AC. Таким образом, мы получаем:
DE^2 = OD^2 + OE^2 = 2r^2.
Также заметим, что треугольники BOD и COE подобны треугольнику ABC по определению. Следовательно, мы можем записать:
OD/BD = OE/CD
r/1/2 = r/1/2
2r = r
r = 1/2.
Теперь мы можем найти высоту треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * b * h,
где b — основание треугольника, h — его высота.
Так как BD = CD = 1/2, то S = (1/2) * 1 * h = h/2.
Также мы можем найти площадь треугольника ABC, используя радиус полукруга:
S = (1/2) * r * AB = (1/2) * (1/2) * AB = AB/4.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то мы можем записать:
S = AB * h/2 = AB/4,
AB * h/2 = AB/4,
h/2 = 1/4,
h = 1/2.
Таким образом, высота равнобедренного треугольника, вписанного в полукруг с диаметром, равным основанию треугольника, равна 1/2