Учеба и наука

Решено

Как доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суме квадратов его сторон? - вопрос №1737871

декабрь 2, 2015 г.

Сообщить о нарушении

Всего ответов: 1

Степин Александр

36-й в Учебе и науке

0 отзывов

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

$A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + A{D^2}$

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

summa kvadratov diagonaley

Дано:

ABCD — параллелограмм,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

$A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2})$

Доказательство:

I споссоб.

summa kvadratov diagonaley parallelogramma

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

$B{D^2} = B{K^2} + K{D^2}.$

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

${A{C^2} = C{F^2} + A{F^2}}$

4) Сложим почленно полученные равенства:

$\begin{array}{l} B{D^2} = B{K^2} + K{D^2}\\ \underline {A{C^2} = C{F^2} + A{F^2}} \\ A{C^2} + B{D^2} = B{K^2} + C{F^2} + K{D^2} + A{F^2} \end{array}$

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

$A{C^2} + B{D^2} = 2B{K^2} + K{D^2} + A{F^2}$

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

$B{K^2} = A{B^2} - A{K^2}.$

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

$A{C^2} + B{D^2} =$

$= 2(A{B^2} - A{K^2}) + {(AD - AK)^2} + {(AD + FD)^2}$

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

$A{C^2} + B{D^2} =$

$= 2(A{B^2} - A{K^2}) + {(AD - AK)^2} + {(AD + AK)^2}$

Раскрываем скобки:

$A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2}\underline { - 2A{K^2}} +$

$+ A{D^2}\underline{\underline { - 2 \cdot AD \cdot AK}} + \underline {A{K^2}} +$

$+ A{D^2}\underline{\underline { + 2 \cdot AD \cdot AK}} + \underline {A{K^2}}$

Упрощаем

$A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2A{D^2}$

$A{C^2} + B{D^2} = 2{(A{B^2} + AD)^2}.$

Что и требовалось доказать.

декабрь 2, 2015 г.

Ответ понравился автору

Лучший ответ по мнению автора

Похожие вопросы

Основание параллелограмма

март 7, 2023 г.

Учеба и наука

ПОЖАЛУЙСТА, НЕ ТРАТЬТЕ ВРЕМЯ НА ЭТО ЗАДАНИЕ. У МЕНЯ ВСЕ-ТАКИ ПОЛУЧИЛОСЬ ЕГО РЕШИТЬ. СПАСИБО

август 5, 2022 г.

Учеба и наука

Здравствуйте. На огэ по физике ребенок написал правильно только ответ на задание, а пояснение не правильно (речь идет про 2 часть огэ). Засчитывается

июнь 14, 2022 г.

Учеба и наука

Докажите, что угол BAC = 90 градусов. Эта задача находится в учебнике в том месте, когда еще не известно, что сумма углов треугольника = 180 градусов.

февраль 13, 2022 г.

Учеба и наука

Как, не прибегая к построению, доказать, что при построении шести прямых, пересекающихся в одной точке, обязательно образуется угол, меньший 31 градуса?

февраль 8, 2022 г.

Учеба и наука

0 ответов