Учеба и наука

• Всего ответов: 1


Татьяна Александровна
7-й в Учебе и науке
4.9 86 отзывов
x^2 – 2x∙cos(π∙x)+1=0
В левой части уравнения прибавим и тут же вычтем cos^2(π∙x)
x^2 – 2x∙cos(π∙x) + cos^2(π∙x) – cos^2(π∙x)+1=0 
Далее сгруппируем:
(x^2 – 2x∙cos(π∙x) + cos^2(π∙x)) + (1 – cos^2(π∙x))=0 
(x – cos(π∙x))^2 + sin^2(π∙x) = 0
Т.о. в лев. части имеем сумму квадратов, т.е. сумму заведомо неотрицательных слагаемых.
Заметим, что сумма заведомо неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю, т.е. имеем систему (1) – (2):
(1)    sin^2(π∙x) = 0  <=>  sin(π∙x) = 0    <=>  π∙x = π∙n  <=>  x = n   =>  x= ±1,±2,±3,…
(2)    (x– cos(π∙x))^2 = 0    <=>  x– cos(π∙x) = 0     <=>    x= cos(π∙x)
 
Из (2)  =>   | x| ≤ 1, т.к. | cos(π∙x)| ≤ 1
Откуда получаем: х = 1 или х = – 1, т.к. согласно (1)  x= ±1, ±2, ±3, ….  
Заметим :  при этих значениях уравнение (1) выполняется.
Т.к. (1) – (2) – есть система уравнений, то оба уравнения должны выполняться при одних и тех же значениях переменной х. Проверим выполнение (2) при х = 1 и при х = – 1:
1)  х = 1 =>  1 = cos(π∙1)   =>  1 = – 1 – неверно   =>  х = 1 не является решением
2)  х = – 1 =>  – 1 = cos(π∙(– 1)   =>  – 1 = cos(– π) =>  – 1 = – 1 – верно    =>  х = – 1  является решением
Ответ:  х = – 1  
март 27, 2018 г.
Ответ понравился автору
Лучший ответ по мнению автора

Похожие вопросы